Комплексные числа: сложение, вычитание, умножение и деление

Что такое комплексные числа?

Комплексное число — это число, которое может быть представлено в форме a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, для которой справедливо равенство i² = −1

Обычно комплексные числа, нам кажутся сложными и непонятными, но на самом деле всё довольно просто и может быть даже визуализировано. Надеемся, что после прочтения этой статьи вы больше никогда не будете думать о комплексных числах как раньше… Поехали!

Содержание:

Построение комплексных чисел

Комплексные числа представляют собой сумму действительной и мнимой части, представленного как a + bi. Используя комплексную плоскость, мы можем построить комплексные числа, аналогично тому, как мы строим координаты на декартовой плоскости.

Вот несколько примеров: 3 + 2i; 1 – 4i; -3 + 3.5i

Построение комплексных чисел
На графике построены следующие комплексные числа: 3 + 2i ; 1 – 4i ; -3 + 3.5i

Просто нарисуйте точку на пересечении действительной части, найденной на горизонтальной оси, и мнимой части, найденной на вертикальной оси.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел — это безусловно, самая простая и понятная операция. Сложение/вычитание действительных частей комплексного числа переводит точку вправо/влево на действительной оси, а сложение/вычитание мнимых частей комплексного числа переводит точку вверх/вниз на мнимой оси.

Арифметически это работает так же, как объединение одинаковых членов в алгебре.

Например, если мы вычтем 1 — 4i из 3 + 2i, мы просто находим разницу действительных 3 — 1 = 2 и мнимых 2i — (-4i ) = 2i + 4i = 6i частей.

Вычитание комплексных чисел

Это то же самое, что построить точку 3 + 2i и перенести ее влево на 1 единицу и вверх на 4 единицы. Получившаяся точка — это итоговый результат: 2 + 6i.

Также можно представить точки комплексной плоскости как вектор (Вектор – отрезок соединяющий две точки для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом). В нашем случаем началом будет начало координат (0,0), а концом сама точка. Теперь внесём знак минус под скобки, чтобы у нас было сложение:

(3 + 2i) + (-1 + 4i)

И затем построим два вектора.

Построение векторов комплексных чисел

Чтобы узнать результат сложения перенесём параллельно начало одного вектора в конец второго. Поскольку сложение является коммутативным, не имеет значения, каким образом мы их складываем. a+b=b+а (свойство коммутативности)

Векторное сложение комплексных чисел

Это может показаться излишним, но вот в чем дело: понимание векторного представления сделает умножение и деление комплексных чисел намного проще.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел немного сложнее и заставляет задуматься:

А что значит перемножить два комплексных числа?

Самый простой способ понять мнимые числа — это интерпретировать умножение +1, -1 и √-1 (или, как Гаусс говорит прямые, обратные и боковые единицы) как вращение вокруг комплексной плоскости против часовой стрелки.

Умножение на +1

Умножение на +1 можно представить как вращение на  или 360˚ относительно начала координат, поскольку в любом случае вы вернетесь туда, откуда начали.

Умножение на +1
Умножение на +1

Умножение на -1

Умножение на -1 можно интерпретировать как вращение на 180˚ против часовой стрелки вокруг начала координат. Например, если я начинаю с 2 и умножаю на -1, Я заканчиваю на -2, что составляет 180˚ против часовой стрелки. И если я умножу -2 на -1, я вернусь к положительному 2.

Умножение на i или √-1

А теперь самое интересное.

Умножая на i или √-1 мы поворачиваем плоскость на 90˚. Вот здесь мнимые числа и вступают в игру.

Обратите внимание, что если я умножу 2 на i, я получу 2i, что является поворотом на 90˚.

Если я умножу 2i на i, я получу 2i², что есть -2, так как i² фактически равно -1.

Мнимая часть комплексного числа

Итак, 2i ² = 2 (-1) или -2, еще 90° против часовой стрелки.

Пример 1

Точно так же, -2 умноженное на i равно -2i, еще четверть оборота.

Пример 2

И наконец, -2i умноженное на i равно -2i² или -2(-1) что равно 2.

Пример 3

Мы могли бы продолжать умножать на i и вращаться вокруг плоскости, поэтому данный пример даёт нам шаблон, который повторяется каждые 4 цикла.

В общем, мы знаем, что умножение на действительное число масштабирует значение, и мы чуть выше узнали, что умножение на i поворачивает значение на 90° против часовой стрелки, но как насчет этого?

Умножение. Пример 4

Чтобы лучше понять, давайте распишем.

Пример 5

Хорошо, теперь мы можем выполнить сложение векторов. Первый вектор это (3+2i) (1), как мы рассмотрели выше (3+2i) поворачивается на 360˚, то есть остается на месте.

Умножение мнимой части комплексных чисел

Теперь мы рассмотрим второй вектор (3 + 2i) (- 4i). Здесь происходит то же самое, что и с первым вектором: масштабирование и вращение. Вот как это происходит.

Сначала вектор (3 + 2i) умножаем на 4, и получаем (12 + 8i), этим мы растянули вектор (3 + 2i) в 4 раза.

Результат умножения мнимой части комплексных чисел

Нам также нужно умножить на -i. Напомним, умножая на -i мы поворачиваем на 90˚ по часовой стрелке.

Результат умножения

Теперь распишем полученное с помощью алгебры.

Пример 7

Последний шар — выполним сложение, перенеся параллельно начало одного вектора в конец другого.

Комплексные числа. Пример решения

Наш окончательный ответ 11 — 10i.

Теперь у вас может возникнуть вопрос, почему мы не можем просто решить все с помощью алгебры?

И это так, мы можем решить это с помощью алгебры. На самом деле, это самый эффективный способ решения задачи (хотя ему не хватает понимания, которое вы получаете от построения графиков). Поэтому мы предложили вашему вниманию оба пути решения.

Алгебра. Комплексные числа


Деление комплексных чисел

Давайте разделим (3+2i)/(1–4i)

В этот момент вы можете подумать, что можете просто разделить действительные и мнимые части… но не так быстро.

Деление комплексных чисел

Как и в алгебре, мы должны разделить оба члена числителя на знаменатель, что оставляет нас с той же проблемой:

Что на самом деле означает деление на комплексное число?

По правде говоря, это сбивает с толку. Разве не было бы хорошо, если бы мы могли избавиться от комплексного числа в знаменателе?

Хорошие новости → Именно это мы и собираемся сделать!

Сопряжённые числа

Ключом к решению этой проблемы является выяснение того, как преобразовать знаменатель в вещественное число.

Самый простой способ сделать это — использовать комплексное сопряжение.

Комплексно-сопряжённое число какому-то числу это тоже самое число только с другим знаком возле мнимой части. И когда мы будем умножать комплексно-сопряжённые числа мы всегда будем получать действительное число.

Например, комплексно сопряжённое число (1–4i) равно (1+4i).

Сопряжённые числа

Конечно, мы не можем просто умножить знаменатель на (1+4i). Как и с любой дробью, если мы умножаем знаменатель на значение, мы также должны умножить числитель на это значение

Высшая математика. Комплексные числа

Теперь у нас есть произведение двух комплексных чисел в числителе дроби. С ними мы знаем как обращаться из предыдущего урока. А в знаменатели дроби получили 17, что означает уменьшение вектора в 17 раз.

Вы можете решить это с помощью графика или алгебраически:

Деление комплексных чисел. Решение

Это было не так уж и сложно, не так ли?