Числа Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи в природе

Последовательность Фибоначчи

Леонардо Фибоначчи (также Леонардо Пизанский) считается первым европейским «специалистом-математиком» средневековья. Он занимался главным образом теоретико-числовыми проблемами, в которых указанные им методы решения выходили за рамки знания арабского языка, а также греческого культурного круга.

О жизни Фибоначчи известно не так уж и много. Он жил примерно с 1170 по 1250 год и происходил из уважаемой купеческой семьи. Его отец был консульским работником Пизанской Республики в Тунисе, он нанял мавра для обучения мальчика, и благодаря этому молодой Леонардо был ознакомлен с математическими достижениями арабов. Позже Фибоначчи в качестве коммерческого представителя своего родного города отправился в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и другие страны. Он воспользовался этой возможностью, чтобы изучить научные достижения этих народов и приобрести их самостоятельно. Таким образом, два культурных круга слились в Леонардо.

Это также объясняет, почему он стал известен под двумя именами: с одной стороны, следуя итальянской традиции, он оставил после Леонардо название своего родного города, т.е. Леонардо Пизанский. С другой стороны, он добавил слово «сын» и имя отца (Боначчи) согласно арабскому обычаю, «filius Bonacci («сын Боначчи»)» было сокращено до Фибоначчи, под этим именем он и вошел в историю математики.

Вклад Фибоначчи в арифметику — Книга абака (Liber abaci)

В Европе математика пришла в упадок после падения греческой культуры. Сначала индейцы положили начало новому расцвету с развитием платежных систем и арифметики, а затем арабы, которые продвинулись в развитии с установлением плоскостной и пространственной тригонометрии. Ситуация была такова, что знания необходимо было распространять в Европе, и никто не был лучше подготовлен для этого, чем Фибоначчи, который освоил и расширил все эти познания.

В 1202 году была опубликована его работа «Liber abaci» (Книга абака), состоящая из 15 разделов, первое европейское общее представление арифметики. Леонардо Пизанский в своём труде вводит индо-арабские цифры, тут же описывает алгоритм умножения (который в новой системе во много раз проще, чем в старой, римской) и показывает, как преобразовать числа из старой системы в новую. Это была трудная задача, потому что было широко распространено недоверие к этим цифрам. В 1299 году городские отцы во Флоренции запретили их использование.

Книга абака (Liber abaci)
Книга абака (Liber abaci)

О Фибоначчи рассказывается следующая история: В 1225 году в Пизе был конкурс по расчетам. Участникам пришлось решать сложные задачи. Одной из таких задач было:

Найти (рациональное) квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт (рациональные) квадратные числа.

Фибоначчи нашел решение и вышел из конкурса победителем. Леонардо попросил присутствовавшего на конкурсе императора Фридриха II содействовать распространению арабских цифр. Фридрих II обещал, но даже он не смог это исполнить. Понадобилось время до 1494 года, чтобы Медичи полностью перешли на арабские цифры. Тем не менее, книга Фибоначчи внесла свой вклад в их распространение и переход к десятичной системе счисления.

В принципе, «Liber abaci» резюмировала, систематизировала и обогатила все математические знания того времени, и эта работа не была превзойдена на протяжении длительного времени. В ней можно найти правила деления на 2, 3, 5 и 9, методы определения наименьшего общего кратного, для которого ранее просто использовалось произведение чисел. Кроме того, представлены методы решения задач с пропорциями, решения задач со смещением, показаны способы решения систем уравнений (до семи неизвестных), продемонстрированы решения уравнений более высокой степени. Наконец, описаны методы аппроксимации для кубических корней, в которых происходит итерация.

В 1220 году последовала вторая работа Фибоначчи «Практика геометрии» — это термин, используемый средневековыми землемерами, известными в наше время как геодезисты. Фибоначчи написал для этих ремесленников «De practica geometrie», подходящее дополнение к Liber abbaci.

В 1225 году была издана «Книга квадратов» (Liber quadratorum).
В ней рассматривается несколько вопросов теории чисел, среди которых индуктивный метод нахождения пифагоровых троек.

Последовательность Фибоначчи (числа Фибоначчи)

Фибоначчи перенял большую часть своей работы от предшественников, он не только систематизировал, но и обогатил ее. Его имя до сих пор ассоциируется с одним открытием. Отправной точкой для этого была изначально странно выглядящая проблема:

  1. Одна пара кроликов рождает новую пару каждый месяц
  2. Каждая новая пара создает новую пару каждый месяц со второго месяца
  3. За это время не было ни одной смерти

В первом месяце есть только одна пара, во втором — уже две пары. В третьем месяце добавляется новая пара из первой пары, а в четвертом — новая пара из первой и второй пары, так что всего их пять. Это приводит к следующей последовательности: 1; 2; 3; 5; …

Если поместить 1 перед первым элементом в качестве дополнительного элемента, то получится так называемая последовательность Фибоначчи (числа Фибоначчи):

Последовательность Фибоначчи

Каждый элемент является суммой двух предыдущих. Это первая известная рекурсивно определенная последовательность. Фибоначчи изучил эту последовательность и обнаружил много замечательных свойств, таких как:

Сумма первых n членов равна числу Фибоначчи — 1
(например: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 21 — 1)
Сумма квадратов двух соседних чисел Фибоначчи снова приводит к числу Фибоначчи.
(например: 32 + 52 = 34).

Только намного позже оказалось, что эта последовательность играет важную роль в других математических задачах, таких как золотое сечение и треугольник Паскаля, и что, например, разветвления деревьев, как правило, следуют этому закону.

Золотое сечение. Последовательность Фибоначчи в природе


Золотое сечение можно найти, разделив линию на две части. Меньшая часть должна быть в той же пропорции, что и большая часть к общей длине линии. Если вычислить это соотношение, получится иррациональное число, которое и является числом золотого сечения, обозначается φ(Фи) и составляет примерно 1.6180339887.

Геометрическое изображение золотой пропорции
Геометрическое изображение золотой пропорции.

Существует очень интересная деталь чисел Фибоначчи. Если разделить какое-либо число в последовательности на предыдущие, то всегда получается значение, которое равно числу золотого сечения.

Золотой прямоугольник имеет стороны, которые соответствуют золотой пропорции; их пропорция друг к другу составляет 1:1,618,
Серия золотых прямоугольников создает форму золотой спирали.

Золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник

Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, который имеет две равные стороны, находящиеся в золотом сечении к третьей стороне.

Золотой треугольник
Золотой треугольник

Многие крупные компании используют золотые пропорции в дизайне логотипов.

Золотое сечение в логотипах
Золотое сечение в логотипах

Золотое сечение можно найти как в природе, так и в искусстве: многие растения растут в духе золотого сечения, даже человеческое лицо можно разделить в соответствии с пропорциями «золотой спирали». Поэтому вездесущая пропорция также называется «Божественной пропорцией».



Читайте также:
Крокодил

Крокодилы умеют бегать галопом и скакать

Даже на суше крокодилы чувствуют себя комфортно. Не верьте расслабленному виду и медлительной походке этих рептилий.
Жидкие магниты

В лаборатории созданы постоянные жидкие магниты

Используя смесь, содержащую наночастицы оксида железа, исследователи создали жидкие капли, которые ведут себя как крошечные постоянные магниты.
проблема роста населения

Проблема роста численности населения — больше, чем просто цифры

Многие беспокоятся, что рост мирового населения приведет к экологической катастрофе. Однако, хотя численность населения является частью проблемы, сама проблема более сложная, чем просто подсчет количества людей.
Пожары и вымирание животных

Может ли лесной пожар привести к массовому вымиранию?

Человечество вряд ли за свою историю хоть раз видело такие пожары, но нам известно, что в прошлом лесные пожары способствовали массовому вымиранию видов.
Военные очки дополнительной реальности

Военные США разрабатывают AR-очки для солдат

Пентагон называет это Интегрированной системой визуального усиления (IVAS), которая, как ожидается, расширит возможности солдат в бою.
Замерзшая планета Земля

Как на «Земле-снежке» смогла сохраниться жизнь?

Не раз условия на нашей планете становились почти несовместимыми с существованием многих биологических видов, но каким-то образом все возвращалось на круги своя.
Золотая пропорция в природе
Золотая пропорция в природе

Комментарии 4

  • число ПИ изучают в школе, может число Фибоначчи неверно? или никому не нужно? или запудривание мозга?

    • А при чем здесь число ПИ? Это ведь собственно говоря ни разу не последовательность.

      А последовательность Фибоначчи, чем-то отдалённо мне напоминает закон Бенфорда. Т.е. всё это выходит так, потому, что человек сам придумал систему счисления, и в ней просто априори не может не быть закономерностей. Фиббоначи по сути увидел то, что рано или поздно бы обнаружили, обычные фракталы работают подобным образом

      • Фракталы говорите, расскажите об этом Хофманну, такие фракталы и последовательности Фибоначчи и не снились, а какие краски, музыка…

  • и еще. в арабских странах используют индийские цифры.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *